माना u = intlimits_0^1 {frac{{ln (x + 1)}}{{{ | vedclass

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Question

(B) $u = \int_0^1 \frac{\ln(x+1)}{x^2+1} dx$ के लिए,$x = 	an 	heta$ रखने पर,$dx = \sec^2 	heta d	heta$ होगा। जब $x=0, 	heta=0$ और जब $x=1, 	heta

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$4u + v = 0$

Vedclass · Answer

(B) $u = \int_0^1 \frac{\ln(x+1)}{x^2+1} dx$ के लिए,$x = 	an 	heta$ रखने पर,$dx = \sec^2 	heta d	heta$ होगा। जब $x=0, 	heta=0$ और जब $x=1, 	heta=\frac{\pi}{4}$ होगा।$u = \int_0^{\pi/4} \ln(1+	an 	heta) d	heta$.गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$u = \int_0^{\pi/4} \ln(1+	an(\frac{\pi}{4}-	heta)) d	heta = \int_0^{\pi/4} \ln(1+\frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}) d	heta = \int_0^{\pi/4} \ln(\frac{2}{1+	an 	heta}) d	heta$.$u = \int_0^{\pi/4} \ln 2 d	heta - \int_0^{\pi/4} \ln(1+	an 	heta) d	heta = \frac{\pi}{4} \ln 2 - u$.$2u = \frac{\pi}{4} \ln 2 \implies u = \frac{\pi}{8} \ln 2 \implies 4u = \frac{\pi}{2} \ln 2 \dots (1)$.$v = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin 2x) dx$ के लिए,$2x = t$ रखने पर,$dx = \frac{1}{2} dt$ होगा। जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{2}, t=\pi$ होगा।$v = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \ln(\sin t) dt = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin t) dt$.मानक समाकलन $\int_0^{\pi/2} \ln(\sin t) dt = -\frac{\pi}{2} \ln 2$ का उपयोग करने पर,$v = -\frac{\pi}{2} \ln 2 \dots (2)$ प्राप्त होता है।$(1)$ और $(2)$ से,$4u = -v \implies 4u + v = 0$.

माना $u = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln (x + 1)}}{{{x^2} + 1}}} \,dx$ और $v = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln (\sin 2x)} \,dx$,तो:

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